概括

本文计算了三国杀中一些有趣的概率结果，包括：真姬罗申的期望值为1，相当于周瑜的1张牌，如果只比较罗申和英子，前者更胜一筹。黄月英的期望值没有预期的那么高，只有0.798。黄盖的初始平均手牌在15张左右。周泰最有可能的死亡时间是第5次判定。计算平均值，周泰的平均死亡时间为5.43。

一些基本情况的概率确定

1. 仁王盾和八卦盾哪个好？

这个问题因人而异，也因形式而异。一般来说，黑杀的概率是70%，而八卦判定的概率是50%（红黑卡各54张），所以仁王盾的防御力要略高于八卦盾，但有几种情况需要特殊处理。

a) 如果你选郭嘉，那就选八卦盾。你判定的牌全都归你。也就是说当你有八卦盾的时候，别人攻击你就是给你牌。这时候就会出现一个有趣的情况，你队友装备了弩，然后让他攻击你，当你判定失败掉血抽牌的时候，你就可以把队友干掉。哈哈，有点变态……

b) 如果有司马懿在场，考虑他是不是你的队友，如果是，可以考虑用八卦，如果不是，八卦就废了。

c) 如果关羽在场，但不是队友，请小心。关羽有 54 张红牌作为击杀，21 张黑牌作为击杀。对于这个角色，他的红牌击杀率为 72%。您应该考虑用八卦替换您的人王盾。

d)如果赵云在场且不是队友，也要注意，赵云一共有45张杀戮卡（24张红杀戮卡，其中15张是红色闪卡），红杀概率53.3%，所以逆王盾用处不大。

e) 最后要注意的是仁王盾是没有几率拿到的，关羽和赵云杀你的时候基本都会用红杀。所以从实用的角度来说，遇到这俩人的时候，仁王盾就是个摆设而已。

2. 被雷击中的概率有多大？

哈哈，如果在场上碰到司马懿，要么像头上戴了个避雷针，要么像你就是避雷针，基本没有概率。正常情况下，黑桃2到黑桃9之间一共有17张牌（包括5张杀戮牌，4张武器，1张防具，1+1马，6张小技巧），概率是15.74%。从数学期望的角度来说，就是6张牌中，有一张是避雷针。也就是说，基本上6轮判定就会出现避雷针。实际对局中，考虑到武器、防具、马匹基本都是装备，不会出现在卡组里，概率会进一步降低到10.2%。

3.当你手里有杀戮和闪现时，你应该保留哪张牌以避免掉血？

这也得看场上的情况。

a)如果有盾装，那就选择击杀，废话。。。^-^，哈哈，很多人都会忘记自己的装备。

b) 如果是甄姬，就选黑杀，既可以当杀戮也可以当闪光。同样，如果是关羽，就留闪光，因为所有闪光都是红色的，可以当杀戮。

c) 剩下的各位，需要考虑自己在场上的位置和作用，如果你是领主，那就保持闪避，因为大家都会攻击你。如果你被敌人包围，那就保持闪避。除了这两种情况，还要考虑场上有没有曹操，这家伙太KB了，3个南蛮入侵1个万剑会扩散成6个南蛮入侵2个万剑，南蛮入侵概率是75%，如果没有无敌，就考虑带杀，以免被AOE打死。

各角色特征分析

1. 甄姬与周瑜的比较

甄姬，不忠的美人

洛神：回合开始时，可​​以进行主动判定。判定结果为黑色则视为成功，判定牌放回手中，可以继续判定；判定结果为红色则视为失败，技能结束。可以继续判定，直到不想继续或者结果变成红色为止。

大帅周瑜

英子：抽牌阶段抽三张牌

宫瑾的技能不言自明，就是多抽一张牌，而真姬的技能就比较复杂了。总结一下，除了她原本有的两张牌之外，她还可以一直抽，直到抽到一张红牌。我们见过一直被红牌憋着的真姬，也见过被黑牌如雨点般救活的真姬。为了了解真姬的技能有多值钱，我们来算一下真姬抽到的预期多抽牌数。

根据概率论知识，我们知道真姬抽到的牌张数X是一个服从几何分布的离散随机变量，参数p为1/2。设真姬抽到的额外牌张数为a，则有

这个系列的总和很简单

这就意味着甄姬的洛神的期望是1，等于周瑜确认的1张牌（之前我还以为甄姬的期望会更小一些）。单从期望值来看，两者并无区别。但考虑到三国杀的独特性，尤其是诸葛连弩这样的装备的存在，卡牌多的时候威力提升非常快，玩家又有追求风险的心态，于是就有了——

自然 1

一般来说，一手牌的效用函数u是关于手中牌数x的单调递增的凸函数。

利用凸函数的性质，不难证明甄姬的技能引起的手部效用大于周瑜的效用。也就是说，在正常情况下，如果只比较洛神和英子两个技能，前者占优。

2. 更让人讨厌的月英

退隐江湖的侠女黄月英

收集智慧：当她使用一张技巧牌时，她会立即从牌堆顶部抽一张牌并将其添加到她的手中。

相信大家都有在玩单机游戏时看到黄月英睡着的经历。有了上面的结果，我们也可以试着计算一下黄月英的期望值。由于宝藏袋中无中生有的现象很引人注目，所以我们就单独讨论这个问题。首先，为了简化计算，我们做以下假设：

假设1，抽牌过程是一个无放回抽奖模型。也就是说，在任意时刻，从牌堆顶部抽出某类牌*的概率p*就是该类牌的数量占总牌数的比例。这不仅是针对自己抽牌的阶段，而且忽略了别人有你想要的牌的可能性。在甄姬的讨论中，我们已经用过这个假设了。这个假设带来的误差很小，实际上，计算出来的期望一般都很小，在1左右，所以抽到很多张同类型牌的概率很小，这和我们的假设是一致的。

我们先来讨论一下《Out of Nothing》对于普通玩家的影响。

用p*表示某次抽奖中，凭空抽出某个东西的概率，p*=a*/s。

a*为无中生有的牌数，s为总牌数，无中生有的两张牌中至少有一张无中生有的概率为1-(1-p*)×(1-p*)。由于p*很小，大概取为2p*。实际情况是a*=4，s=109，p*=0.037。

把n次无中生有再产生一张牌的情况定义为n+1次无中生有的顺序，因此由上述推理我们得到：

自然 2

高水平的无中生有创作是可以忽略的。

接下来我们开始计算黄月英抽到的额外牌张数量a的期望值。这里还要做一个假设，就是黄月英会把所有能用的魔法袋都用完，忽略所有大丰收的影响（太郁闷了）。首先计算一下使用一个魔法袋之后智慧带来的额外牌张数量b。设p表示黄月英下次抽到不延时魔法袋的概率（不包括无中生有）。基于类似几何分布的性质，我们可以得到关系：

b=1+p×b+p*×(3+3b)

求解 b 可得出：

b=(1 + 3p*)/(1-p-3p*)

在游戏中，p=18/109=0.165。使用计算器，我们得到b=1.53。

从此我们可以开始计算a。（这是一个庞大的项目，需要考虑一般的技巧和无中生有的创造……）

a=p×p×2b+2p×b+p*×p*×2(2+b)+2p*×(2+b)-2p×p*(2+2b)=0.798

计算结果让人吃惊，黄月英的期望值并没有想象中高，只有0.798！相比较而言，还不如周瑜和貂蝉的1张牌，以及甄姬的均值1张牌。关于这个问题，我们可以通过性质1给出解释。从b>1可以发现，黄月英一旦摸到一张牌，她的潜力就非常充足，而且黄月英在首轮六张牌中就极其KB。黄月英用较低的均值换来了较高的风险，也就是爆发力。

3.公瑾，请鞭打我吧！

在三国杀这款游戏中，总有一些品味低下的人，对某个暴力英雄情有独钟。

黄盖为国捐躯

苦涩：出牌阶段，你可以主动减少自己一点体力，并从牌堆里抽两张牌，在你的回合中可以多次使用该技能。

有了前面的分析，黄盖的计算就简单多了。我们做以下假设：

假设2。

（暴力黄盖假说）我们所讨论的黄盖会在任何可能的情况下将自己变成一滴血。

所以有一个结论

推论1、黄盖的所有桃花以及桃园誓言，都相当于无中生有。

此时碰上“无中生有”的概率为p*=13/109=0.119。

忽略黄盖可以同时抽出三张“无中生有”牌的可能性，也忽略高级“无中生有”，暴力黄盖第一回合不被打中的情况下平均能抽到的牌数大约为：

a=4+2+(4-1)×2+12p*×(1-p*)^11×2+(12选2)p*^2×(1-p*)^10×4=12+1.766

在计算过程中发现，由于初始手牌数量较多，p*并非很小，且高阶“无中生有”的影响不可忽略，所以a只是黄盖手牌的下限。综合各方面因素估算，黄盖的初始平均手牌在15张左右！试想一下，这样的人如果坐在领主隔壁高喊“苍天已死，黄天当立”，对领主的威胁有多大。（以后不要再鄙视暴力的黄盖了……）

4. 信春歌的人有永生

周泰的身躯

不屈：任何时候，当你的体力降低到0点或更低时，每降低一点体力：从牌堆顶部展示一张牌，并将其放在你的角色牌上。如果这张牌的点数与你角色牌上已有的任何一张牌不同，你不会死亡，此时视为濒死状态。

史上最恶心的蟑螂，我曾化身黄盖手持近十支箭的弩弓冲向主公，却被邻家忠臣周泰拦截，我抵挡住一切攻击坚守不退，却最终被他一刀砍倒，从此周泰能活多久，成了武林中千古之谜……谜……

相比前两题，周泰的计算并不复杂，不涉及任何引理，只需要概率论的基本知识。设s表示牌的总数（这里s=52×2=104），从濒死开始，An表示第n次判断后还站着的事件，Dn表示第n次判断中周泰死亡的事件。我们有

由An与Dn的关系可知：

图片如下：

结论：周泰的实力并不强，周泰最有可能的死亡时间是第5次判断，计算平均值，周泰的平均死亡时间为5.43次（之前认为是7次），最后知道周泰还能活多久了。

讨论

本文给出了几个RP型英雄的概率结果，很有启发。甄姬和周泰的计算基本准确，无中生有的讨论比较粗略，没有考虑丰收的影响。黄盖的计算还有很大的不确定性，希望有人能给出黄盖更合理的计算结果。

参考：

[1] 概率论导论，王仁官著，北京大学出版社，1994年4月第一版

[2] 三国杀推广版使用说明书，YOKA GAMES